一根杆从半圆柱上滑下来了（4种解法）

题目

如图所示，半径为的半圆柱固定在水平面上，在与柱轴垂直的平面内有一轻杆搁置在柱面上。端在地面上以速度向右运动，杆与柱的接触点为。某时刻杆与水平面的夹角为，求的中点此时的速度大小。

解答过程

「答案」。

「方法1」相对运动 & 运动分解

相对于点，点、都做圆周运动，由于为的中点，故。由于各点沿着杆方向速度相等，故、。根据相对运动的知识，，即，如图所示。

由上面的关系式，进一步可以得到：

「方法2」相对运动 & 微积分基础

根据相对运动知识，，即。相对于点，做圆周运动，如图所示，故：

根据余弦定理可得：

下面来求杆转动的角速度。设杆的点从圆柱的边缘（红色表示初始位置）出发，如图所示，经过时间到达题中所示位置，则：

联立各式解得。

「方法3」利用瞬时转动中心

说明

刚体在做平面运动的时候，总能找出一个点，使得各点的瞬时速度都是绕着该点做圆周运动的速度，这个点就是瞬时转动中心，简称瞬心。（非严格表述，请自行了解。）

瞬心位于下图中的点，根据瞬心的性质可知：

根据几何关系可知：

联立各式解得。

「方法4」“刚体速度牵连”

点为的中点，故其坐标可以表示为

等式两边对时间求导得：

如图所示，我们易得以下关系式：

联立各式解得。

最后说明

第四种方法我在其它题目有用过，但是因为看书少，就没有见到哪本书有这种解法。谁要是知道哪里有这种解法，告诉我一声，我也查一下它叫什么名字好。

纯属个人编辑，难免出错，欢迎批评指正！